新潟大学理学部

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研究紹介

三浦研究室

教員
研究分野

関数解析学,特に関数環論,可換Banach環論

研究テーマ
  • 1)ある種のスペクトル保存写像の構造
  • 2)関数空間上の等距離写像の構造
研究概要

 $A$と$B$を関数の集合とします.$A$の関数を$B$の関数に変換する関数$S$を$A$から $B$への写像といい,$S \colon A \to B$と表します.関数の値域を一般化した概念に スペクトルがあります.関数$f$のスペクトルを$\sigma(f)$で表します. $$ \sigma(S(f)) = \sigma(f) $$ が$A$のすべての関数$f$に対して成り立つとき,$S$はスペクトルを保存するといいます.

スペクトルを保存する写像$S \colon A \to B$をすべて求めよ

のような問題を「スペクトル保存写像の構造を調べる」といいます.

 関数を点とみなすので,関数と関数の距離を考えることがあります. 関数$f, g$の距離を$d(f,g)$とします. $$ d(S(f),S(g))=d(f,g) $$ が$A$のすべての関数$f,g$に対して成り立つとき,$S$を等距離写像といいます.

等距離写像$S \colon A \to B$をすべて求めよ

のような問題を「等距離写像の構造を調べる」といいます.

 $A,B$は単なる関数の集まりではなく,「連続関数の集合」や 「微分可能な関数の集合」などを考え,関数の定義域も様々です. これらの問題は大学で学ぶ「線形代数」「微分積分」「複素関数論」などと密接に関連し, 様々な関数の集合に対して現在でも研究されています.

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 数学は単なる記号のやり取りではなく「数学的現象を記述する言葉」です. 数学的現象は目で見ることが困難で,頭や心で感じ取る必要があります. 数学的現象を感じ取るには訓練が必要です.

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(新潟大学理学部 広報委員会)